Большая теорема Ферма → 

Материал из Вавилон.wiki

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Доказательство БТФ посредством n-того счисления

Цель работы

Итак, необходимо доказать, что равенство

~(a^n+ b^n= c^n) (1.1)

при целочисленных ~a, ~b и ~c и ~{n>2} невозможно [1]. В настоящее время БТФ необходимо доказать (элементарным способом) для случая, когда n - любое простое число, а одно из оснований, например ~b, содержит в своем составе сомножители ~n [2]. Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие обозначения:

~a+b=D_c; 2.1

~c-b=D_a; 2.2

~c-a=D_ b; 2.3 где, например,

~D_c=c_i^n; ~D_a=a_i^n; ~D_ b =b_i^n/n;

где ~c_i,~a_i, ~b_i -целые числа.

Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:

~a_i^n*a_x^n+b_i^n*b_x^n=c_i^n*c_x^n (1.2)

или

~D_a* F_a + D_b * F_b = D_c *F_c (1.3)

где :

~F_a = a_x^n;

~ F_b = n*b_x^n;

~F_c =c_x^n.

~ F_c =(a^n + b^n)/(a + b), 1.3.1

~F_c может быть представлена как неполная ~(n - 1) �C ая степень разности:

~(a - b )^{n-1} [3]

Соответственно:~F_a=(c^n-b^n)/(c-b), ~F_b=n(c^n-a^n)/(c-a),~F_c как неполная ~(n - 1) - ая степень разности: ~(a-b)^(n-1).

Из трех величин ~F_a, ~F_b и ~F_c две обязательно должны быть точными степенями с рассматриваемым показателем степени ~n. Предлагаемый вариант доказательства БТФ основан на невозможности подбора таких оснований ~a,~b и ~c при ~n>2 , чтобы ~F_a и ~F_c, были точными степенями.

Рассмотрим случай, когда ~n=3. Предположим, что сомножитель ~n принадлежит основанию ~b.

При этом:

~F_c=a^2-a*b+b^2; (2.1 )

~F_a=c^2+c*b+b^2; (2.2)

Каждое из этих выражений должно быть точной ~n - той степенью.

Нас интересует вопрос: могут ли величины ~Dc=(a+b) и ~Fc=(a^2-a*b+b^2) иметь общие множители?

~(a^2-a*b + b^2) - 3* b^2 =(a+b)(a-b) -b(a+b)= - (a+b)(a-2b); (А1)

Вычитаемое и разность общих множителей не имеют, значит и уменьшаемое не имеет общих множителей с разностью, а разность содержит величину ~(a+b), как сомножитель. Следовательно ~(a^2 -a*b + b^2) и~(a+b), не содержат общих сомножителей. Кроме сомножителя 3, в общем случае ~n. Для того, чтобы доказать справедливость утверждения БТФ достаточно ответить на вопрос: Можно ли подобрать в левой части равенства такие два слагаемые, являющиеся точными степенями ~n - той степени, чтобы правая часть равенства тоже была точной ~n - той степенью?

Сравнение по модулю

Итак, для того, чтобы ответить на поставленный вопрос необходимо уметь определять: является ли анализируемая величина точной степенью или нет. В качестве такого инструмента в данном доказательстве используется последовательность разрядов при выражении точных степеней в счислении, равном величине рассматриваемой степени. Изложение доказательства затруднено тем, что при обучении широко не используются другие счисления, кроме десятичного. Авторы склонны считать, что и это является причиной затруднительности доказательства БТФ элементарным способом. Поэтому, перед рассмотрением доказательства, основанном на рассмотрении закономерностей, имеющих место в последовательности разрядов при выражении точных степеней в ~n - том счислении, напомним методику перевода любого числа в ~Y-тое счисление и остановимся на закономерностях, при использовании ~n- того счисления в степенных выражениях. В теории чисел широко используется сравнение по ~\mod m. Сравнение по модулю можно рассматривать как элемент использования счисления, равного используемому модулю. Чтобы осуществить перевод в ~Y-тое счисление необходимо посредством последовательного деления получаемых частных на ~Y определить весь набор остатков, получаемых при делении. Например, ~777_{10} переведем в троичное счисление.

~777: 3 = 259 (0);

~ 259 : 3 = 86 (1);

~ 86 : 3 = 28 (2);

~28 : 3 = 9 (1);

~ 9 :  3 = 3 (3);

~3 : 3 = 1(0);

~1 : 3 =0 (1).

Записав остатки в обратной последовательности, получаем выражение числа в задаваемом счислении: ~1001210_3. [2] Мы останавливаемся на переводе не потому что думаем, что кто то не знаком с таким переводом, а потому, что именно по этому пункту почему то, в основном, возникает непонимание. Может именно потому, что математические действия, производимые в других счислениях, очень непривычны. Оказалось, что использование счисления, равного показателю рассматриваемой степени наглядно показывает зависимости между разрядами оснований и разрядами степеней им соответствующих. Использование таких счислений позволяет, как бы формализовать расчеты интересующих нас разрядов или их групп, и по наполнению оснований предвидеть наполнение степеней и наоборот. В ~n - том счислении количество используемых символов равно ~n(в десятичном счислении - (10). До 11- ого счисления удобно использовать общепринятые символы (цифры), используемые в десятичном счислении. В дальнейших счислениях можно использовать символы, представляющие комбинацию известных символов с использованием разделительных знаков, например для 23 - ого счисления: \22\21\20\19\18\….и так далее. Символ равный используемому счислению всегда обозначаем как 0, или как набор нулей. Независимо от используемого счисления существующее равенство, конечно, сохраняется. В таблицах 1 - 1, 1 - 2, 1 - 3 дан перевод оснований и соответствующих им степеней, соответственно : для куба - в третичное, пятой - в пятеричное и седьмой степени - в семеричное счисление. Данные таблицы сопоставления оснований и степеней в счислении, равном показателю рассматриваемой степени, как уже говорилось, позволяют проследить закономерность между разрядами оснований и соответствующими им разрядами степеней. На основании такого сопоставления видно, что в основаниях и степенях имеют место идентичные и не идентичные разряды. При этом количество идентичных разрядов непостоянно и оказалось, что оно зависит от последовательности разрядов в основании. Определенная последовательность символов (цифр) в основании указывает на то, что такая же последовательность символов будет и в степени, причем на как угодно значительное количество разрядов. Такую последовательность символов мы именуем "штампом". Штампы могут быть двухразрядные, трехразрядные и так далее. Если сомножитель ~n^k присутствует в основании ~b, то в ~b^n ~(kn)*n- первых символов (справа), будут нулевыми. Следовательно в основаниях ~a и ~c ( и в степенях ~a^n и ~c^n ) должно иметь место требуемое количество идентичных разрядов. (штампов с одинаковым количеством символов). Если мы предполагаем, что сомножитель ~n присутствует в основании ~c, то основания ~a и ~b, должны иметь штампы, дополняющие друг друга, которые при суммировании дают нулевой штамп. Чтобы записать "штамп" в ~n-том счислении, можно определить величину остатка (класса вычетов основания и степени) по используемому много разрядному модулю - ~n^n, а затем полученную величину переводить в счисление, равное показателю степени ~n. Сопоставление разрядов в основаниях и степенях позволяет определить последовательность разрядов, соответствующую штампу. Таким образом, для третьей степени при использовании модуля ~27=3^3, составляем таблицу 1-0, имеем: Таблица представлена колонками по три столбца. В первой колонке: натуральный ряд чисел (по девять значений в столбце); Во второй колонке: остатки при делении на 27. В третьей колонке: разряды в третичном счислении.

Таблица 1 - 0

Основания степени Степень по ~\ mod 27 Трехразрядный штамп по ~\ mod 3
1 10 19 1 1 1 0 0 1
2 11 19 8 8 8 2 2 2
3 12 21 27 27 27 0 0 0
4 13 22 10 10 10 1 0 1
5 14 23 17 17 17 1 2 2
6 15 24 27 27 27 0 0 0
7 16 25 19 19 19 0 2 1
8 17 26 26 26 26 2 2 2
9 18 27 27 27 27 0 0 0

Понятие штампа

В третьем блоке таблицы 1 - 0 осуществлен перевод классов вычетов кубов в третичное счисление. Таким образом, получены все возможные последовательности трех первых разрядов в третичном счислении для кубов (n=3). Это значит, что если взять любое основание с набором первых трех разрядов в третичном счислении, соответствующим штампу, то в кубе этот набор повторится, а за ним возникнет новый разряд уже четырехразрядного штампа. Но главное, что можно утверждать для данного этапа приводимого доказательства, что любая точная степень с показателем, представленным простым числом, в счислении, равном показателю рассматриваемой степени, обязательно имеет штамп, минимально двухразрядный! Поэтому зная последовательность двух первых разрядов любого числа в ~n - том счислении, можно определять, может ли это число быть точной степенью. Следует отметить, что для различных показателей степени последовательность символов в штампах в ~n - том счислении различна, однако для каждой из степеней она строго детерминирована. И второй символ штампа всегда строго определен. При этом, посредством умножения на дополнительный сомножитель можно осуществить перевод одного "штампа" в другой "штамп", или выразить желаемое количество разрядов в виде штампа. При этом нулевые штампы остаются без изменения (как и при использовании десятичного счисления) и поэтому по величине уже второго символа, можно определять, может ли данная величина быть точной степенью. Поэтому также достаточно при анализе использовать одну любую существующую последовательность разрядов. Удобней всего использовать последовательность разрядов, соответствующую первому классу вычетов, эту последовательность разрядов мы именуем - идеальной. (0001). Для промежуточных показателей степени, от второго до ~n-1, наборы разрядов, соответствующие штампам в ~n - том счислении именуются промежуточными штампами. Существующая последовательность разрядов при увеличении рассматриваемых степеней, при использовании модуля равного показателю конкретной степени, имеет тенденцию повторяемости через интервал, равный величине рассматриваемой степени. Для подтверждения вышеизложенного, в таблицах 1 - 1, 1 - 2, 1 - 3 дается параллельный перевод оснований и степеней в соответствующие счисления. В таблице 1-1 даны основания и соответствующие кубы в третичном счислении. В таблице 1-2 дано сопоставление оснований и степеней пятой степени в пятеричном счислении. В таблице 1-3 дано сопоставление оснований и степеней седьмой степени в семеричном счислении. Во втором столбце в перечисленных таблицах основания и степени в десятичном счислении. Последовательность разрядов в рассматриваемом счислении в таблицах располагается аналогично записи в десятичном счислении - справа налево. Перевод степеней с показателем, равным семи, ограничен основанием равным 13, поскольку таблицы Эксель не помещают в ячейку больших значений; изменение величины ячеек приведет к изменению формы таблиц, что не совсем удобно. В приводимом доказательстве, по мнению авторов, объем предлагаемого материала достаточен для объяснения существующих закономерностей. Авторы просто напоминают о трудоемкости перевода степеней в соответствующие счисления даже при существующей вычислительной технике. Как будет показано далее, использование для анализа модулей эту проблему не ставит.

Таблица 1-1. Сопоставление разрядов оснований и степеней. (Третичное счисление)

Наименование величин Величин в десятичном счислении Значение величин в троичном счислении
Основание 1 0 0 0 0 0 0 1
Степень 1 0 0 0 0 0 0 1
Основание 2 0 0 0 0 0 0 2
Степень 8 0 0 0 0 0 2 2
Основание 3 0 0 0 0 0 1 0
Степень 27 0 0 0 1 0 0 0
Основание 4 0 0 0 0 0 1 1
Степень 64 0 0 0 2 1 0 1
Основание 5 0 0 0 0 0 1 2
Степень 125 0 0 1 1 1 2 2
Основание 6 0 0 0 0 0 2 0
Степень 216 0 0 2 2 0 0 0
Основание 7 0 0 0 0 0 2 1
Степень 343 0 1 1 0 2 0 1
Основание 8 0 0 0 0 0 2 2
Степень 512 0 2 0 0 2 2 2


Таблица 1-2 . Сопоставление разрядов оснований и степеней. (Пятеричное счисление)

Наименование величин Величин в десятичном счислении Значение величин в троичном счислении
Основание 1 0 0 0 0 0 0 1
Степень 1 0 0 0 0 0 0 1
Основание 2 0 0 0 0 0 0 2
Степень 32 0 0 0 0 1 1 2
Основание 3 0 0 0 0 0 0 3
Степень 243 0 0 0 1 4 3 3
Основание 4 0 0 0 0 0 0 4
Степень 1024 0 0 1 3 0 4 4
Основание 5 0 0 0 0 0 1 0
Степень 3125 0 1 0 0 0 0 0
Основание 6 0 0 0 0 0 1 1
Степень 7776 0 2 2 2 1 0 1
Основание 7 0 0 0 0 0 1 2
Степень 16807 1 0 1 4 2 1 2
Основание 8 0 0 0 0 0 1 3
Степень 32768 2 0 2 2 0 3 3


Таблица 1-3. Сопоставление разрядов оснований и степеней. (Семеричное счисление).

Наименование величин Величин в десятичном счислении Значение величин в троичном счислении
Основание 1 0 0 0 0 0 0 1
Степень 1 0 0 0 0 0 0 1
Основание 2 0 0 0 0 0 0 2
Степень 128 0 0 0 0 2 4 2
Основание 3 0 0 0 0 0 0 3
Степень 2187 0 0 0 6 2 4 3
Основание 4 0 0 0 0 0 0 4
Степень 16384 0 0 6 5 5 2 4
Основание 5 0 0 0 0 0 0 5
Степень 78125 0 4 4 3 5 2 5
Основание 6 0 0 0 0 0 0 6
Степень 279936 2 2 4 4 0 6 6
Основание 7 0 0 0 0 0 1 0
Степень 823543 0 0 0 0 0 0 0
Основание 8 0 0 0 0 0 1 1
Степень 2097152 3 5 5 3 1 0 1

Штампы при больших показателях степеней

Мы рассмотрели последовательность разрядов в n - том счислении при n=3.

При ~n= 5 имеют место следующие девятиразрядные штампы: …000 000 001, …032 431 212, …412 013 233, …..444444444, …000000000.

Для различных степеней штампы различны, но всегда имеют место три вида штампов:

~(...0.0.0);

~(n-1),(n-1),(n-1) и

~(...0.0.1).

"Штамп", состоящий из нулевых символов и единицы, именуется нами идеальным, Он назван так, ввиду удобства его использования при расчетах. При этом, всегда штамп одной из интересующих нас величин можно преобразовать в идеальный штамп (за исключением нулевого). Если основания относятся к классам вычетов, отличных от нулевого, первого и ~(n-1) классов по ~\mod n, последовательность символов в штампах может быть самая различная. Определять штампы можно на основании последовательного рассмотрения соответствия между разрядами оснований и разрядами степеней. Символ, появляющийся за идентичными символами основания и степени, есть следующий символ штампа. Все математические действия над числами, применяемые в предлагаемом доказательстве, начинаются с действий над штампами этих чисел. Так как нас интересуют результаты действий над штампами, математические действия, производимые со штампами, именуются также как и при действиях с числами. Если при сложении двух чисел в сумме образуется штамп из нулевых символов, штампы слагаемых мы именуем дополняющими друг друга до нулевого штампа. Например, в третичном счислении:

……222

+

…….001

_________

……000

Произведение штампов обязательно является штампом. Поэтому посредством использования дополнительных сомножителей можно осуществлять перевод одних штампов в другие штампы, точных степеней с одними штампами в точные степени с другими штампами. Например (в третичном счислении):

~...222_3*...222_3=...001_3

Так же можно обеспечить штамп и в числе, не являющимся степенью. Как уже отмечалось, между основаниями и степенями в образовании штампов существует строгая закономерность. Количество нулевых символов в штампе степени, по сравнению с количеством таких же символов в штампе основания, увеличивается в ~n раз. Количество же символов в других штампах степени, по сравнению с количеством символов в штампе основания, увеличивается на один разряд. Не только штампы, но и разряды, следующие за штампом в основании и степени, сопоставимы. Разряды основания, следующие за штампом в основании, полностью повторяются в степени. Увеличивая количество разрядов штампа в основании, мы получаем возможность увеличивать количество повторяющихся штампов. Для того, чтобы обеспечить наполнение сомножителями ~n одно из слагаемых, в равенстве 1.1 уже при ~n =3, необходимо чтобы другие два основания имели хотя бы по два одинаковых первых разряда, что соответствует двухразрядным штампам. Для наполнения сомножителями ~n суммы в равенстве 1.1, необходимо, чтобы основания двух других степеней имели двухразрядные штампы, дополняющие друг друга. Промежуточный штамп степени ~n -1 всегда есть идеальный штамп, по количеству разрядов штампа основания, так как только такой штамп может обеспечить тождественность штампов основания и степени. Итак, если рассматриваемое число есть точная степень, оно должно иметь минимум двухразрядный идеальный штамп , то �C есть при переводе двух первых разрядов рассматриваемой степени в идеальный штамп, в счислении, равном показателю степени, должен получаться штамп ~01 . Если предположить что в равенстве 1.1 сомножители ~n принадлежат слагаемому <math.~b^n</math> , необходимо, чтобы

{a^n\equiv c^n\pmod{n^n}}; (3)

Для этого необходимо, чтобы

~{a\equiv c\pmod{n^{n-1}}}; (4)

То �C есть основания ~a и ~c должны иметь ~n-1 одинаковых разрядов, которые всегда могут быть переведены в "штамп". Если предположить, что сомножители ~n в равенстве 1.1 принадлежат сумме ~c^n, необходимо, что бы основания ~a и ~b имели штампы на ~n-1 разрядов, дополняющие друг друга . При этом необходимо, чтобы ~F_a и ~F_b были точными ~n - ми степенями. Для доказательства БТФ остается ответить на вопрос: возможно ли это? Так как условие 4 выполнимо, выполнимо и условие 3. А возможно ли при этом обеспечение таких ~F_a и ~F_c (~F_a и ~F_b) , у которых штампы соответствуют требованиям, предъявляемым точным степеням? Поэтому определяем, какие штампы могут иметь величины ~F_a и ~F_c, если предположить, что штампы величин ~a и ~c идеальные. (Мы всегда можем это обеспечить.) Зная наполнение штампов оснований ~a , ~b и ~c, можно рассчитать штампы интересующих нас значений. При наличии сомножителя ~n в основании ~c ~F_a и ~F_b должны быть точными ~n �C ми степенями. К какому бы из оснований не принадлежал сомножитель ~n (выражение 1.1), две другие степени этого выражения есть произведение степеней с показателем степени ~n, не имеющих общих сомножителей. Это легко доказывается: ведь после корректировки величины ~F на ~n*a^{n-1}, или ~n*b^{n-1}, или ~n*c^{n-1} в получаемой сумме или разности мы всегда имеем сомножитель ~(c-a) или ~(a+b). И поэтому, мы всегда имеем возможность показать невозможность общих сомножителей в величинах ~D_c и ~F_c, если основание ~c не содержит сомножителя ~n.

Завершение первого варианта доказатнльства БТФ

Итак, отметим еще раз, что для того, чтобы определять может или нет являться рассматриваемое число точной степенью, достаточно в ~n -том счислении определить два первых разряда данного числа. Доказательство же справедливо для случая, когда в одном из оснований выражения 1.1 имеется единичный сомножитель ~n. Читатель при желании может в этом убедится самостоятельно. На основании выражений 2.1 и 2.2 при ~n=3 может иметь место два варианта. Первый вариант: (нас интересуют только два первых символа):

~Fa=01*01+01*10+10*10=01+10+00=11_3. (5)

В рассматриваемом варианте основание ~b имеет штамп ~10_3. Второй вариант:

~F_a=01*01+01*20+20*20=01+20+00=21_3 (6)

(основание ~b имеет штамп ~20_3). Как видно, ни один из возможных вариантов не обеспечивает такой штамп, чтобы ~F_a могло быть точным кубом. (Варианты (5) и (6) записаны для случая, когда основание ~b содержит в своем составе единичный сомнолжитель~n. Можно убедится, что и при других показателях степени сконструировать основания <math.~a</math> и ~c в соответствии с требуемым наполнением основания ~b и при этом обеспечить необходимые штампы величин ~F_a и ~ F_c невозможно. Итак, нами показана невозможность составления равенства 1.1 для варианта, когда сомножитель ~n принадлежит основанию ~b. Теперь предположим, что сомножитель ~n принадлежит основанию ~c. В этом случае основание ~c имеет штамп с нулевым символом. Но при этом в формулах выражений 5 и 6 только слагаемые меняются местами, что также не позволяет получать штамп нужного наполнения. При ~n=5,7 и так далее, формализованные выражения ~F_a , ~F_b , ~F_c отличаются от этих же выражений при ~n=3 количеством слагаемых , показателями степеней, в которые возводятся исходные основания, и количеством вариантов символа, следующего за нулевым символом. Однако, при использовании идеального штампа в одном исходном основании, и нулевого штампа в другом исходном основании только увеличивается количество возможных вариантов, приводивших к получению различных вторых символов в рассчитываемом штампе интересующих нас величин. Если предположить, что в основании символ , следующий за нулевым символом равен единицы, имеем: Fa для n=5 Fa для n = 7

       0000                                 000000
       +000                                +100000
       +100                                 +10000
        +10                                  +1000
        +01                                   +100
         11                                    +10
                                               +01
                                                11

(Результирующие величины показаны без знака ~+ То�Cесть при любом показателе степени мы не получим в рассчитываемых выражениях ожидаемого штампа. И если предположить, что символ, следующий за нулевым символом, в одном из исходных оснований не равен 1, все равно ясно, что в рассчитываемом выражении второй символ, следующий за символом, равным единице не может быть нулевым символом. То�Cесть, можно утверждать, что ни при каком показателе степени в рассчитываемых величинах ~F не может возникнуть штамп, соответствующий штампу точной степени. А поэтому можно утверждать, что ни при каком показателе степени не может состояться равенство 1.1 при заданных условиях. Что и требовалось доказать.

Обсуждение варианта доказательства при большем количестве сомножитей n

(Для случая, когда одно из оснований содержит единичный сомножитель, равный показателю рассматриваемой степени)

Данный вариант доказательства, несмотря на уточнение, что данный вариант предназначен для случая, когда одно из оснований рассматриваемого равенства содержит единичный сомножитель, равный показателю рассматриваемой степени, встречен контр примером:

http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=50390#50390


http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=53334#53334

Контр пример как бы ограничивает возможности предлагаемого варианта доказательства. Подвергает сомнению его универсальность. Так ли это, или нет? Но однозначно можно утверждать, что в настоящий момент доказательство не может считаться завершенным. Но можно ответить на вопрос: А какие пути его завершения существуют. На ответе на этот вопрос стоит остановится. Хотя сразу хочется отметить, что, по мнению автора, более понятным является вариант доказательства, основанный на использовании контрольных модулей, на котором он тоже намерен остановится. Если вариант, предложенный в черновике является только задумкой, а данный не завершенным, то вариант, основанный на использовании контрольных делителей, нуждается, по мнению автора, только в проверке установленной закономерности.

Первый вариант

Первый вариант основан на сопостовимости штампов основания и степени. Набор тождественных разрядов штампов и разрядов, следующих за штампами, в основаниях и степенях, автору представляется не только существующей закономерностью, но и закономерностью, которая может быть формализована и рассматриваться как один из вариантов доказательства БТФ. Автору это, к сожалению, не удалось. Как можно строить в троичном счислении предполагаемое равенство? Берем основания ~ a и ~ c с пятью одинаковыми разрядами. Какими? По нашему мнению это не имеет значения. А вот следующие разряды в этих основаниях должны конструировать разность �C предполагаемую степень, таким образом, чтобы седьмой разряд этой конструируемой величины был равен второму классу вычетов. И восьмой, и девятый, и десятый. В этом случае, следующие три разряда в конструируемой разности значения не имеют. Так как эти три разряда являются отодвигаемыми. А поэтому мы имеем право теперь записать предполагаемое основание ~ b=xxx22200 , где х - сами обозначены соответствующие разряды, полученные нами в конструируемом равенстве. Если мы создадим в конструируемой степени штамп из пяти разрядов, то нас устроят следующие четыре разряда конструируемой разности , не зависимо от их величины. В этом случае мы можем гарантировать основание в следующего вида: ~xxxx222200 , и так далее. В троичном счислении мне не удавалось раскритиковать контр пример. Хотя, надежда осталась при использовании более мощной расчетной техники для расчетов величин различными вариантами

Второй вариант

Второй вариант основан на анализе получения величины ~Q_b. Он основанный на определении возможности деления разности ~(b^3-b) на ~6. Его удобно применять для анализа контр примеров, что, по мнению автора, ему удалось сделать. Но, врядли, может быть использован для формализованного доказательства БТФ.

Мне был предоставлен форумом контр пример в девятеричном счислении. И тут, используя существующую закономерность определения величины Q, мне, к моему удивлению, не удалось подобрать частное от деления, которое при умножении на 6, дает исходную величину, выполняющее значение точной степени, за вычетом основания. Эти попытки можно посмотреть на форуме. И хотя форум мне не удалось полностью убедить в этом, я ничего не подгонял. И при этом, я до сих пор не понимаю, почему мне это удалось. Ведь от использования другого счисления величины не меняются. Может быть, в этом виновен перевод из троичного счисления в девятеричное. Но если это так, то может быть, там можно поискать ключ к ответу? Не знаю. Поэтому не останавливаюсь на этом анализе. Но в составленном равенстве, можно всегда увеличивать величину штампа конструируемой степени, и по анализу повторяемости отодвигаемых разрядов проверять, выполняется или нет данное условие. И конечно другие условия. Но для доказательства главное не конкретная проверка, а закономерность. А какую бы то ни было закономерность, формализовать не удалось.

Третий выриант

Третий вариант основан на использовании ограничений, обусловленных налагаемыми ограничениями, например величиной ~D_b. На этом варианте можно уже сейчас остановится подробнее. Если взять основание, относящееся к первому классу вычетов по ~\bmod 3  , и прибавить к этой величине величину ~1944  , выполняющую одно из возможных значений величины ~ D_b , можно получить вариантов оснований ~a  и ~c . Нами задано условие, что основание равенства должны принадлежать по ~ \bmod 9  к первому или восьмому классам вычетов. Так как точными степенями могут быть только эти величины, наименьший разряд у которых не нулевой. ( Использование данного модуля оказалось удобно, наглядно, меньшее количество разрядов наблюдается). Поэтому существует необходимость подбора оснований ~a_i  , ~ a_x , ~c_i  , ~c_x  по двум младшим разрядам. Так, чтобы основания ~ a и ~c  , например, принадлежали к первому классу вычетов с соответствующим набором двух младших разрядов. В противном случае не будет обеспечен требуемый класс вычетов величин ~D_a  ~D_c  , и величин ~F_a  и~F_c  .

Требуемого результата можно добиться также, если использовать для получения оснований сомножители, относящиеся к седьмому или четвертому классам вычетов. В этом случае, все сомножители принадлежащие к числовым рядам: ~7+18*z  и ~ 13+18*z соответствуют таким требованиям. Такие же требования обеспечиваются и при использовании числовых рядов: ~5+18*z  и ~11+18*z  Перемножение значений этих числовых рядов обеспечивает получение оснований, относящихся к первому классу вычетов. Я не вижу принципиального различия при рассмотрении любой из этих пар числовых рядов. Также может быть рассмотрены другие комбинации числовых рядов. Подробно остановимся на рассмотрении первой комбинации числовых рядов

В конечном счете, мы конструируем основания с требуемым наполнением двух первых разрядов по ~ \bmod 9 . Для конструирования оснований строим числовые ряды :

a_i 7 25 43 61 79 115 133 151169 187
a_x 13 31 49 67 85 103 121 139 157 175

И производим перемножение по столбцам. Затем переводим произведения в девятеричное счисление, определяя по два младших разряда каждого произведения, для того чтобы выбирать удовлетворяющие заданным условиям.

~11_9; 51_9; 01_9; 41_9; 81_9; 31_9; 71_9;21_9; 61_9

При перемножении последующих оснований идет вновь цикличное повторение. Выбираем основания, удовлетворяющие требованиям примера, ставящего вопрос о достоверности утверждения БТФ. (В качестве такого примера используется контр пример форума, или вернее сказать пример автора с логином Someone). Для ~a  это ~11_9  , а для ~c берем произведение сомножителей: ~31_9  и ~71_9  .

Теперь, например, для основания

~a=91_{10}=7_{10}*13_{10}=07_9*14_9

И основания

~c=139024765_{10}=9991_{10}*13915_{10}

Получаем разность, как величину ~D_b  . Получаемая разность равна ~139024674_{10}  Эта разность относится к ~1458  классу вычетов по ~\bmod 1944  .

Остается поставленный вопрос: Можем ли мы таким образом сконструировать основания, чтобы получить разность, относящуюся к нулевому классу вычетов по заданному модулю?

Не нарушая величину интервала между исходными значениями, производим расчет для следующего варианта. Все исходные значения оснований увеличиваем на 18. Убеждаемся, что теперь разность, а вернее предполагаемая величина ~ D_b относится к ~1782  классу вычетов по ~\bmod 1944  .

Разность между рассчитываемыми величинами в первом и во втором случаях составляет ~324  . Затем снова увеличиваем интервал. Получается, что теперь разность между сконструированными основаниями относится теперь к ~162  классу вычетов по ~\bmod 1944  .

Класс вычетов увеличился опять на ~324  . И так далее. Через шесть интервалов значения результатов повторяются. То есть в этом варианте мы не получаем требуемого наполнения рассчитываемой величины ~D_b  . сомножителями ~2 и ~3  .

Увеличиваем интервал между первым основанием и набором сомножителей, обеспечивающих второе основание. Для этого, чтобы не нарушать последовательность расчетов, смещаем весь второй числовой ряд сомножителей на один влево.(десятичное счисление)

a_i 7 25 43 61 79 115 133 151169 187
a_x 31 49 67 85 103 121 139 157 175 193

И выполняем аналогичные расчеты. Получаем новый числовой ряд возможных классов вычетов, к которым могут относиться разности, сконструированных оснований, отвечающих предъявляемым к ним требованиям. И в этом числовом ряду получаем нулевой класс вычетов. Это происходит при использовании в качестве основания ~ a

cостоящего из сомножителей: ~ 211_{10} и ~187_{10}  . А основания ~c  посредством произведения, состоящего из сомножителей ~ 295_{10} и ~319_{10}  ; ~277_{10} и ~301_{10} .

Но при этом нам приходится использовать основания, содержащие одинаковые сомножители, что недопустимо: ~ 187=17*11; 319=29*11 Не может же и основание ~ a и основание ~ c содержать одинаковые сомножители. Если же произвести сокращение на одинаковые сомножители, то тогда не обеспечиваются требуемые классы вычетов исходных оснований. Следует отметить, что в данном варианте расчета мы используем основания ~ a и ~c , сконструированные сомножителями, относящимися к одним и тем же классам вычетов по модулю 9. Делать полный круг просчетов, владея только возможностями таблиц Эксель, автор посчитал не целесообразным. А что тогда делать с большими степенями? Всегда ли так? Возникли новые вопросы, не дав ответы на поставленные. Это, конечно, не претензия на доказательство, это просто освещение факта, который может послужить стимулом к проведению дальнейшего анализа. А пока можно посмотреть названный Вторым вариантом доказательства БТФ.

Самый простой?

Для начала зададимся вопросом: Как можно представить основания ~a, и основание ~c? Представить можно так:

~a+b=D_c=c+k.

Откуда ~c=D_c-k; П1

При этом ~D_c - точный куб.

А ~a=D_a+k. П2

И ~D_a тоже точный квадрат.

Отметим, что и ~a, и ~c могут быть представлены в троичном счислении, как числа, имеющие идеальные штампы, с одинаковым количеством разрядов. Это всегда достижимо посредством умножения на дополнительные сомножители.

Смотри: Доказательство БТФ посредством n - того счисления.

Так как справедливы равенства П1 и П2 , мы можем добиться аналогичного результата и посредством скорректированных величин ~D_c и ~- k, ~D_ a и ~+k. Представим вариант, когда для рассматриваемого варианта (Основание ~b имеет два нулевых разряда) величина ~k состоит из пяти разрядов (для простоты); два из которых, соответственно, нулевые, и еще какие-то три разряда. Какими должны быть эти разряды? Они должны быть идентичными соответствующим разрядам величины ~D_c, а идентичные разряды величин ~D_c и ~D_a должны быть дополняющими друг друга. При этом получается, что прибавление величины ~k к ~D_ a искажает первый разряд, следующий за штампом, а при корректировки величины ~D_ c - нет. Вследствие чего искажается первый, не нулевой разряд, в величине ~D_b, следующий за нулевым штампом. Что не должно происходить, так как используемые нами дополнительные сомножители для обеспечения нулевых штампов в основаниях относятся к первому классу вычетов. Значит, мы не можем создать величину ~k, задуманную нами. Это и есть завершение первого варианта доказательства БТФ и при любом количестве нулевых разрядов в величине ~b, и при любом показателе рассматриваемых степеней. IAN 18:12, 11 мая 2008 (UTC) Но на самом деле это, конечно, не так. Это говорит только о том, что пятый разряд разности ~D_c и ~D_ a должен отличаться от пятого разряда разности ~c и ~a на единицу. И на математическом форуме МГУ участнику с логином Someone это известно. Значит известно многим, пусть даже не так обстоятельно. Поэтому можно утверждать с большой очевидностью, что для случая, когда основание ~b содержит более одного нулевого разряда, закономерности, продиктованные кубами,при использовании единичного счисления не могут привести к опровержению справедливости БТФ. Для тех, кто ищет не такие закономерности, пусть это будет предостережением.

Хотя, если появится возможность, автору было бы интересно обсудить и это направление .

Как и следующее:

Для того, чтобы предположить, что не возможно подтверждение справедливости утверждения БТФ при наличии более одного нулевого разряда в основании ~b, необходимо также сделать допущение, что вторые разряды оснований ~a и ~c, изначально, были нулевыми.

Поэтому, обеспечивая идеальные штампы в основаниях ~a и ~c, мы можем в качестве дополнительных сомножителей использовать точные кубы, что даёт гарантию того, что ~D_ c и ~F_ c остаются точными кубами.

Теперь зададимся вопросом: Что происходит с основаниями ~c_i и ~c_x при создании в основании ~c идеального штампа?

Если произведение ~c_i*c_x становится величиной с идеальным штампом (двухразрядным), основания ~c_i и ~c_ x взаимно становятся дополнительными сомножителями, обеспечивающими этот идеальный штамп. А раз так, что нам мешает корректировать непосредственно основания ~c_i и ~c_ x не нарушая точных значений степеней ~D_ c, и ~F_ c? И при этом мы обеспечиваем уже идеальный штамп в основаниях ~c_i и ~c_ x. Мы в качестве дополнительных сомножителей для каждого из этих оснований используем основание, являющиеся дополнительным сомножителем для обеспечения двухразрядного идеального штампа в основаниях ~a или ~c . При этом, используя в качестве дополнительного сомножителя (комплексного) точную степень. И мы, таким образом, получаем возможность увеличивать идеальный штамп начальных оснований на большее количество разрядов, чем это возможно для получения двухразрядных штампов в предполагаемых точных степенях. (От наших преобразований количество нулевых разрядов в основании ~b не изменяется). Это, при желании, можно показать и численном выражении. Конечно, используемые сомножители должны быть идентичными и для основания ~a и для основания ~c.

Дальнейшее увеличение нулевых разрядов в основании ~b упрощает нам задачу создавать штампы оснований ~c_i и~c_x больше, чем необходимо для получения идеального штампа в величинах ~D_ c и ~F_ c, которые мы предполагаем точными степенями. Поэтому опровержение утверждения БТФ не возможно, что и требовалось доказать.

IAN 10:47, 12 мая 2008 (UTC)

Второй вариант доказательства БТФ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕНИЯ КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЫХ КОНТРОЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ

Введение

Первое приведенное доказательство БТФ не требует уточнения. (Для случая с единичным сомножителем ~n в одном из оснований).

Единственное что, по мнению авторов, могло служить препятствием во времена Пьера Ферма - это объем расчетов, необходимых для определения возможных штампов и закономерностей, которым они подчиняются. Чтобы определить все возможные штампы для пятой степени необходимо рассмотреть ~5^5 значений, для седьмой ~7^7 и так далее. Даже в 21 веке, широкая аудитория не имеет вычислительной техники, позволяющей рассчитывать степени с большими показателями.

Для рассмотрения случаев с большим количеством сомножителей ~n в одном из оснований доказательство еще более трудно затратное.

Технология определения класса вычетов данного числа по модулям не зависит от количества символов в числе, это может обеспечиваться поэтапным определением классов вычетов путем промежуточных расчетов. Может быть, поэтому в теории чисел и получило широкое распространение сравнение по модулю. Если в первом варианте доказательства Вариант доказательства БТФ учитывается необходимость наличия в одном из оснований составляемого равенства, сомножителя ~n, в данном доказательстве рассматривается возможность возникновения других сомножителей.


Во втором варианте доказательства БТФ мы, как и в первом варианте, оцениваем классы вычетов величин ~F_a, ~F_b и ~F_c (обозначения остаются такими же, как и в первом варианте доказательства !!!!).

И при этом используется не единственный модуль, а определенная последовательность таких модулей. При этом при анализе рассматриваются классы вычетов для совокупности величин, которые могут быть представлены в формализованном виде, как взаимно зависимые.

В качестве инструмента определяющего: может или нет, анализируемое число быть точной степенью в данном доказательстве используются классы вычетов по таким модулям, которые обеспечивают различие точных степеней на основании анализа выбранной совокупности величин.

Поэтому необходимо ответить на вопросы: какие это модули, как их можно находить, и какое количество таких модулей может быть при рассмотрении любой простой степени?

Контрольные модули

Попробуем ответить на поставленные вопросы. Если сравнивать точные ~n-ые степени по различным модулям, представленными простыми числами, можно заметить, что точные степени не всегда принадлежат ко всем классам вычетов по данному модулю, то-есть числа не из всех классов вычетов по данному модулю могут быть ~n - ми степенями. В таких случаях модули мы именуем контрольными ( см. табл.2.1)

СРАВНЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ по мод 7. Таблица 2-1

Модульmod = 7 mod = 7 mod = 7 mod = 7 mod = 7 mod = 7 mod = 7 mod = 7
основание 1 2 3 4 5 6 7 8
сравнение по мод 1 2 3 4 5 6 7 0
вторая степень1 4 9 16 25 36 49 64
сравнение по мод 1 4 2 2 4 1 0 1
третья степень 1 8 27 64 125 316 343 512
сравнение по мод 1 1 6 1 6 6 0 1
четвертая степень 1 16 81 256 625 1296 2401 4096
сравнение по мод 1 2 4 4 2 1 0 1
пятая степень 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768
сравнение по мод 1 4 5 2 3 6 0 1


Из таблицы 2-1 видно, что кубы при сравнении по mod 7 принадлежат всего к трем классам вычетов, из возможных 7-ми. То �C есть, числа не из всех классов вычетов по mod 7 могут быть точными кубами. Такие модули как mod 7 мы именуем контрольными. И такой модуль как мод 7 для анализа кубов не единственный. Есть и другие модули, которые при определении классов вычетов точных кубов может быть контрольными. Такие модули: 13, 19, 31 и так далее. Если остаток, полученный после вычитания из простого числа единицы, содержит сомножитель, равный показателю рассматриваемой степени, можно утверждать, что данное простое число является контрольным модулем. Также контрольным модулем является и произведение простого числа на контрольный модуль. Последние утверждение значимо потому, что произведение полного набора простых чисел после прибавления единицы есть или простое число, или произведение, в котором есть еще не учтенное простое число.

  1. REDIRECT Простое число#Сколько существует простых чисел?


То есть, если N1, N2,… Nn - полный ряд простых чисел (то - есть все простые числа от 2-х до определенного предела, то (N1× N2×…× Nn) +1 есть или простое число, или произведение, содержащее простое число.

Проверку можно производить, используя простые числа данного числового ряда, минуя промежуточные простые числа.

По модулю 11 - классов вычетов для точных 5-х степеней только три, хотя количество классов вычетов по этому модулю равно одиннадцати; по модулю 29 - классов для точных 7- х степеней только пять, и так далее.

Поэтому можно утверждать, что модуль М, представленный простым числом , является контрольным для степеней с показателем степени N:

                                              N =  (М - 1)/2.

Поэтому, по нашему мнению, можно утверждать, что количество контрольных модулей для любой простой степени бесконечно, так как бесконечно количество простых чисел.

Степенные блоки

Итак, все бесконечное множество степеней можно представить конечным количеством классов вычетов степеней по любому конкретному модулю.

Любое натуральное число при этом, может рассматриваться как основание степени.

При этом, весь бесконечный числовой ряд может быть представлен набором начальных значений в количестве, равном величине используемого модуля. Эта возможность диктуется цикличностью с интервалом, равным величине рассматриваемого модуля.

Набор классов вычетов оснований и соответствующих им классов вычетов степеней для конкретной степени по конкретному модулю мы именуем степенным блоком.

При этом, что особенно важно, набор классов вычетов оснований можно представлять в привязке к классам вычетов степеней по различным модулям. (см. табл. 2 - 0), ведь при увеличении модуля классы вычетов начальных* оснований, рассчитанные по предыдущему модулю, не изменяются. Как будет показано в третьем варианте доказательства БТФ, благодаря этому мы можем не только сравнивать классы вычетов оснований по различным модулям, но и количественно оценивать предполагаемые основания для искомых степеней. В рассматриваемом варианте доказательства БТФ мы также используем сопоставление степенных блоков, выстроенных при использовании различных модулей. (см. табл 2 - 0). Степенные блоки, составленные по модулям 7 и 13. Таблица 2-0

Натуральный ряд чисел (возможная величина основания а) Таблица составлена для третьей степени при основании а первого класса вычетов
Проверка по мод 7 Проверка по модулю 13
Классы вычетов ~D_c Классы вычетов заданных оснований ~a Классы вычетов оснований ~b Классы вычетов ~c^3 Классы вычетов ~F_c Классы вычетов ~D_c Классы вычетов заданных оснований ~a Классы вычетов оснований ~b Классы вычетов ~c^3 Классы вычетов ~F_c
1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
2 1 1 0 1 1 8 1 7 3 4
3 6 1 5 0 0 1 1 0 1 1
4 1 1 0 1 1 12 1 11 5 7
5 6 1 5 0 0 8 1 7 5 4
6 6 1 5 0 0 8 1 7 5 4
7 0 * * * * 5 1 4 0 0
8 1 1 0 1 1 5 1 4 0 0
9 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
10 6 1 5 0 0 12 1 11 5 7
11 1 1 0 1 1 5 1 4 0 0
12 6 1 5 0 0 12 1 11 5 7
13 6 1 5 0 0 0 * * * *
14 0 * * * * 1 1 0 1 1
15 1 1 0 1 1 8 1 7 5 4
16 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
17 6 1 5 0 0 12 1 11 5 7
18 1 1 0 1 1 8 1 7 5 4

В таблице 2 �C 0 представлено два степенных блока значений: по mod 7 и по mod 13. Оба блока имеют одинаковые шапки наименований. Натуральный ряд чисел мы принимаем за возможные основания величины ~D_c . Соответственно, возводя эти числа в степень ~n (в данном случае n=3) и определяя классы вычетов степеней по mod 7 и по mod 13, получаем набор классов вычетов возможных ~D_c (столбцы 1 и 5).

Задаваясь первым классом вычетов основания ~a , мы, на основании возможного класса вычетов предполагаемой величины ~D_c , рассчитываем возможный класс вычетов основания ~b, и классы вычетов величин ~a^3 и ~F_c , для каждого из возможных ~D_c .

В строках, где ~D_c принадлежит к 0-му классу (то-есть ~D_c , а значит и ~c^n содержит сомножитель ~m ) в остальных ячейках стоит знак * .

Блоки по каждому модулю разбиты на вертикальные блоки, показывающие повторяемость значений.

По строкам можно определить при каких классах вычетов оснований ~b ( основание ~a мы относим к первому классу вычетов) равенство может состояться. Это может произойти в случае, если классы вычетов величин ~a^3 и ~F_c соответствуют классам вычетов точных степеней.

  • начальные основания - основания, которые меньше по величине чем используемый модуль.

По всем полученным вариантам расчетов видно, что классы вычетов величин ~c^3 и ~F_c соответствуют классам вычетов точных степеней, если ~b , или ~D_c или ~F_c относится к нулевому классу вычетов, то-есть содержат сомножитель, равный контрольному модулю.

Но, так как таких контрольных модулей существует бесконечное множество, для обеспечения искомого равенства необходимо, распределить это бесконечное множество множителей между тремя основаниями, что невозможно. Бесконечность и деленная на три - бесконечность. Таким образом, для получения равенства необходимо, чтобы основания ~a, ~b и ~c содержали в своем составе сомножители, равные по величине всем контрольным модулям, а так как таких модулей для любого простого показателя степени ~n бесконечное множество, эта задача невыполнима, а поэтому утверждение БТФ справедливо, что и требовалось доказать.

В данном случае мы предположили, что основание ~a принадлежит к первому классу вычетов. Достаточно ли этого для доказательства. Сомневающийся может легко убедится, что достаточно. Например. если мы зададимся , что


~ a \equiv2 \pmod{7}
, тогда ~ b \equiv 4 \pmod{7}
, чтобы ~ D_c=(a+b)\equiv 6 \pmod{7}
, что соответствует классу вычетов точного куба. В этом случае достаточно умножить все основания на дополнительный сомножитель из 4 ого класса вычетов, чтобы перевести основание ~ a \equiv 1 \pmod{7}.

Получаем

~ a^1 \equiv 1 \pmod{7}, ~ b^1 \equiv 2 \pmod{7},

~ D_c \equiv 3 \pmod{7}.

Этот вариант не подходит, так как числа из третьего класса вычетов не могут быть точными кубами.

В заключении

Если работа получит аудиторию,автору будет очень приятно получать и вопросы, и комментарии, и профессиональную корректуру. Работа представлена и частями. Для удобства корректуры. О них в Обсуждении, и маршрут к ним там же. =Или из-за непонимания, но я не могу добраться к работе, представленной частями. Задал вопрос: Почему так. Пока без ответа. Меня это интересует только по причине предполагаемой возможности там каких-то замечаний, вопросов. О чём решил написать.--Iosif1 23:33, 24 <августа> 2008 (MSD)

Не возникает ни вопросов, ни критики. То-есть интерес продолжает отсутствовать. А есть и за что критиковать, и за что пожурить. Но главное ни в этом. Думал ещё дать один вариант доказательства, который никак не могу формализавать. Получается, что доказательство построено на найденной закономерности, и доказательство можно формулировать аналогично утверждению из А.П. Чехова: "Этого не может быть, потому что не может быть никогда!" Но раз нет интереса, воздержусь.--194.44.18.71 14:31, 2 <января> 2009 (MSK)

Инструменты