Введение понятия математика → 

Материал из Вавилон.wiki

Перейти к: навигация, поиск

Математика. Введение. Что такое математика.

При решении математической задачи человек имеет дело с ограниченным набором объектов, имеющих четкие отношения друг с другом. В жизни же, наоборот, их количество очень велико, а отношения между ними достаточно размыты.

Первоначально математика брала, например, такие объекты из окружающей действительности, как числа и геометрические фигуры. В отличие от физики эта точная наука изучает закономерности отношений, не зависящие от физического устройства этого мира. В ней утверждается, что из одних отношений объектов могут быть логически выведены другие отношения между ними. Начальные свойства и способы логического вывода человек берет из жизни, воспроизводя разные ситуации с реальными объектами или представляя их умозрительно и обращаясь к своему опыту. Далее он использует только специально сформулированные понятия, образы, в том числе рисунки и правила вывода одних утверждений из других. Мышление, оторванное от понятий, доступных органам чувств, можно назвать абстрактным. Преобразование информации по четко определенным законам и без ошибок можно назвать строгим. Выводы, сделанные математикой, будут правильны в жизни, если исходная информация была верна. Другим путем, кроме как с помощью строгого абстрактного математического подхода, в сложных явлениях реального мира, особенно в технике, где много логических связей, зачастую нельзя получить точную информацию.

После четкой формулировки исходных свойств объектов и способа вывода из одних свойств других, процесс вывода можно формализовать, то есть свести к механическим преобразованиям информации. Но, чтобы решать задачи, нужен алгоритм, совершающий эти преобразования наиболее эффективным путем. Математик, в основном, обладает этим методом наиболее быстрого решения задач (см. раздел "Как ей заниматься"), но его алгоритм не формализован и в большой степени основан на методах и рефлексах, заложенных от природы или выработанных в процессе реальной жизни. Поэтому составление такого алгоритма - задача нетривиальная. Заметим, что всегда можно дать задачу с как угодно сложным или сложно находимым решением, возможно, даже с простой изящной формулировкой. Кроме того, человек - не машина, обладает слабостями и до оптимального алгоритма работы он не доходит. Это доказывает и долгий путь технических и научных достижений, и то, что часто простые решения некоторых задач были не скоро найдены. Современные науки - математика, физика, химия, биология и техника - вышли на уровень задач, для которых способностей человека не достаточно. Зачем она нужна:

1. Для прикладных нужд: техники, физики, химии, биологии, программирования и т.д. Кроме того, одни области математики нужны для других.

2. Для знания, точного установления фактов, чтобы было меньше неизвестного, неясного и чтобы все могли пользоваться этими знаниями. Для воспитания дисциплины мышления и мыслительных способностей. Подход, применяемый при решении математической задачи, описанный в разделе "Как ей заниматься", может быть полезен в любых рассуждениях. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, так как эта наука уже абстрактна и строга, кроме того, исходная информация математической задачи доступна, ограничена и неизменна в отличие от ситуации в жизни.

3. Для получения такого же удовлетворения, как от игры или любого интересного дела. Математика привлекательна в этом отношении своей содержательностью, сложностью, строгостью построений, общностью выводов, простотой и неожиданностью результатов. Как ей заниматься:

1. Формировать способность удерживать в голове образы, оперировать с ними - находить взаимосвязи, производить изменение этих объектов - добавлять и убирать объекты, менять их положение. То есть в голове создается картинка, которую человек рассматривает, в этом и заключается процесс мышления. Она может начать расплываться в силу несовершенства внимания человека.

2. Формировать: языки определяемых понятий, слов и словосочетаний их обозначающих; символьные языки - формул и высказываний, язык образов, рисунков, наиболее эффективные для исследуемой области математики. Понятно, что определяемые понятия должны быть строго определены, непротиворечивы, часто применимы к изучаемым объектам, в их терминах формулировка свойств должна упрощаться. Их словесные названия и связывающие словосочетания (например, “пересекающиеся прямые”) должны быть удобны для восприятия смысла. Язык символов позволяет компактно и строго производить громоздкие преобразования на бумаге. При этом меньше нагружается понятийное и образное мышление, используемое при решении задач в уме. На основе выбранных понятий, наработанных методов и доказанных теорем строится язык образов, который позволяет человеку очень быстро в уме оперировать информацией в данной области.

3. Делать эквивалентные преобразования, приводящие информацию к наиболее простому виду. Это, своего рода, процесс ее "причесывания" - обобщение, выявление сути, выбрасывание кусков, легко выводимых из остающихся данных. При преобразованиях с потерей информации оставляется самое существенное, важное, с большей вероятностью или с меньшими затратами, ведущее к результату. Полезно запомнить или записать в самом сжатом виде полученные данные, чтобы потом их можно было легко восстановить полностью. Можно также применять классификацию, чтобы сжать информацию и облегчить ее использование.

4. Четко фиксировать (на бумаге или в голове) и последовательно прорабатывать все возникающие вопросы и идеи.

5. Экономить критичные ресурсы, которыми могут быть - время, объем внимания, память, использование не развитых в данном человеке способностей. Для этого можно сначала заниматься наиболее простыми и с большей вероятностью приводящими к результату направлениями.

6. Использовать вспомогательные предметы, помогающие исследовать математические объекты - например, геометрические фигуры, механические модели, рисунки, записи на бумаге, чтобы разгрузить память и внимание. Можно воспользоваться компьютером для решения переборных задач, визуального отображения объектов, возможно, в будущем - для решения любой задачи.

7. До конца разобраться в каком-то вопросе, добиться полной строгости, чтобы потом на это опираться. На этом шаге ресурсы не экономятся, но это приводит к большой их экономии впоследствии. Часто нельзя решить задачу просто, а нужно до конца исследовать сложные объекты.

8. Использовать нечеткие образы для понятий, методов, планов дальнейшего исследования. В них могут быть неопределенные места и они, иногда, с трудом выражаются словами. Тем не менее, с этими образами не так сложно оперировать. По ходу дела они могут конкретизироваться. Мышление такими представлениями дает мощный и быстрый метод исследования.

9. Создавать новую обширную теорию для изучения какого-то одного вопроса. Она может быть сильно не похожа на исходную задачу.

10. Создавать систему теорем, способов представлений объектов, методов (алгоритмов) решения задач, теорий, позволяющих быстро решить наиболее широкий круг задач, затрачивая минимальное количество критичных ресурсов.

1. Сочетать вышеперечисленные методы, зачастую взаимоисключающие друг друга. Например, можно добиваться строгости в мелочах сразу по ходу рассуждений, полного представления в голове взаимосвязи объектов при сложной картине, развивать новые способности, новые методы и области математики, а можно производить длинную цепочку предположений, нечетко определять рассматриваемые ситуации, стараться решить задачу простыми методами, уходя от сложных операций с помощью того, что уже есть. Эти методы человек чередует в оптимальной для него последовательности. Если мышление расплывается, не удается давать четкие доказательства, то можно придумать цепочку простых задач с возрастающей сложностью и последовательно, до конца, в них разобраться.

Комментарии

Леонид: хорошая статья.

(Лис, Камкина, Грищенко, Радченко) Матема́тика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы. (Голубович, Пожарская)Изучение математики связано с усвоением определённой системы понятий. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретённые знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий. Эти знания нужны учителю начальных классов потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребёнка в дальнейшем. Появление в математике новых понятий, а значит и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Математические понятия - важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики. На начальной ступени обучения учащиеся знакомятся с большинством математических понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, например, при счёте их. При этом учитель опирается на жизненный опыт учащихся. (Винничнко,Бочкова,Сулейманова)Математика — инструмент познания мира

Она представляет из себя науку точную, не терпящую произвола в толковании и различных спекуляций. Это воплощение порядка и жесткой логики. Она помогает понять мир вокруг нас, узнать больше о его законах, так как эти законы подчинены тому же самому порядку, что царит в математике!

Язык, на котором говорит природа, мы успешно можем перевести на язык математики и осознать структуру взаимосвязей какого-либо явления. И, после того, как мы эти связи формализуем, мы можем строить модели, предсказывать будущие состояния явлений, которые этими моделями описываются, только лишь на бумаге или внутри памяти вычислительных машин!

Эйнштейн, в ответ на вопрос, где находится его лаборатория, улыбнулся и указал на карандаш и бумажный лист.

Его формулы теории относительности стали важным этапом на пути познания вселенной в которой мы живем. И это произошло до того, как человек начал осваивать космос и только тогда экспериментально подтвердил правильность уравнений великого ученого! (громова, новоселова) Молодцы!! хорошо поработали!!!

Инструменты